Ģeometrija: kad četrstūris ir paralelograms?

Kad četrstūris ir paralelograms?

Ģeometrija

  • Pierādījumi par četrstūriem
  • Kad četrstūris ir paralelograms?
  • Kad paralelograms ir taisnstūris?
  • Kad paralelograms ir rombs?
  • Kad paralelograms ir kvadrāts?

Es domāju par četrstūri, kurā viens pretējo malu pāris ir paralēls un vienāds. Nosauciet četrstūri.



Es domāju par četrstūri, kurā abi pretējo malu pāri ir vienādi. Nosauciet četrstūri.

Es domāju par četrstūri, kurā abi pretējo leņķu pāri ir vienādi. Nosauciet četrstūri.

Es domāju par četrstūri, kura diagonāles viena otru sadala divpusēji. Nosauciet četrstūri.

Amerikas Savienotās Valstis pēc iedzīvotāju skaita

Ja jūs atbildējāt? Paralelograms? uz visu iepriekš minēto, jums ir taisnība! Protams, līdz šim jūs zināt, ka nepietiek ar apgalvojumu, ka es domāju par paralelogramu. Automašīnā ir šaubītāji, tāpēc jums tas būs jāpierāda.

Pretējās sānu daļas ir vienādas un paralēlas

Tavs pirmais? Nosauc to četrstūri? viens pretējo malu pāris ir paralēls un saskanīgs. Es to saukšu par teorēmu un uzrakstīšu divu kolonnu pierādījumu. 16.1. Attēls palīdzēs jums vizualizēt situāciju.

10 lielākās valstis

16.1. Attēls. Četrstūris ABCD ar BC? ? un BC ~ = AD.

  • 16.1. Teorēma : Ja viens četrstūra pretējo malu pāris ir paralēls un saskanīgs, tad četrstūris ir paralelograms.

Šeit ir spēles plāns. Pieņemsim, ka pirms mūsu ēras? ? AD un BC ~ = AD. Pēc definīcijas paralelograms ir četrstūris, kurā abi pretējo malu pāri ir paralēli. Jūs jau zināt, ka viens pretējo malu pāris ir paralēls. Jums jāparāda, ka otrs pretējo malu pāris ir paralēls. Citiem vārdiem sakot, jums jāparāda, ka AB? ? CD.

Jūs varat aplūkot šo četrstūri divos veidos. Pirmais veids ir koncentrēties uz segmentiem BC un AD, kurus sagriež šķērsvirziena maiņstrāva. Tad? BCA un? DAC ir alternatīvi interjera leņķi un ir saskanīgi, jo BC? ? AD. Otrais veids ir pagriezt to uz sāniem. AB un CD ir divi segmenti, kurus sagriež šķērsvirziena maiņstrāva. Šajā gadījumā 'BAC' un 'ACD' ir alternatīvi iekšējie leņķi. Ja jūs to varētu parādīt? BAC ~ =? ACD, tad jūs varētu secināt, ka AB? ? Kompaktdisks, un jūs to izdarīsit. Veids, kā parādīt? BAC ~ =? ACD, ir izmantot CPOCTAC. Lai izmantotu CPOCTAC, jums jāparāda? DAC ~ =? BCA. Lai parādītu? DAC ~ =? BCA, jums jāizmanto SAS Postulate. Uzrakstīsim to.

PaziņojumiIemesli
1.Četrstūris ABCD ar BC? ? AD un BC ~ = AD.Dots
2.BC? ? AD sagriež šķērsvirziena maiņstrāvaŠķērsvirziena definīcija
3.? BAC un? ACD ir alternatīvi interjera leņķiAlternatīvo iekšējo leņķu definīcija
Četri.? BCA ~ =? DAC10.2. Teorēma
5.AC ~ = maiņstrāva~ = Refleksīvā īpašība
6.? DAC ~ =? BCASAS postulāts
7.? BAC ~ =? ACDCPOCTAC
8.AB un CD ir divi segmenti, kurus sagriež šķērsvirziena maiņstrāvaŠķērsvirziena definīcija
9.? BAC un? ACD ir alternatīvi interjera leņķiAlternatīvo iekšējo leņķu definīcija
10.AB ?? CD10.8. Teorēma
vienpadsmit.Četrstūris ABCD ir paralelogramsParalelograma definīcija

Tagad, kad esat pareizi nosaucis šo četrstūri, varat pāriet uz nākamo četrstūri.

Divi kongruentu sānu pāri

Otrajā? Nosauciet to četrstūri? četrstūrī bija divi kongruentu sānu pāri. Uzrakstīsim to kā teorēmu un noliksim to mierā.

  • 16.2. Teorēma : Ja abi četrstūra pretējo malu pāri ir vienādi, tad četrstūris ir paralelograms.

Mums ir vizuāls attēls 16.2. Mums ir paralelograms ABCD ar AB ~ = CD un BC ~ = AD. Spēles plāns ir sadalīt četrstūri divos trijstūros, izmantojot diagonālo AC. Izmantojiet SSS Postulate, lai parādītu, ka abi trijstūri ir saskanīgi, un izmantojiet CPOCTAC, lai secinātu, ka alternatīvie iekšējie leņķi ir vienādi un pretējām pusēm jābūt paralēlām. Ja mēs to parādām abiem pretējo malu pāriem, tad mums pēc definīcijas ir paralelograms. Ir pienācis laiks izrakstīt detaļas.

kvadrātsakne no 11

16.2. Attēls. Četrstūris ABCD ar AB ~ = CD un BC ~ = AD

PaziņojumiIemesli
1.Četrstūris ABCD ar AB ~ = CD un BC ~ = ADDots
2.AC ~ = maiņstrāva~ = Refleksīvā īpašība
3.? ABC ~ =? CDASSS postulāts
Četri.? BAC ~ =? ACD un? BCA ~ =? DACCPOCTAC
5.BC un AD ir divi segmenti, kurus sagriež šķērsvirziena maiņstrāvaŠķērsvirziena definīcija
6.? BAC un? ACD ir alternatīvi interjera leņķiAlternatīvo iekšējo leņķu definīcija
7.BC? ? TO10.8. Teorēma
8.AB un CD ir divi segmenti, kurus sagriež šķērsvirziena maiņstrāvaŠķērsvirziena definīcija
9.? BAC un? ACD ir alternatīvi interjera leņķiAlternatīvo iekšējo leņķu definīcija
10.AB ?? CD10.8. Teorēma
vienpadsmit.Četrstūris ABCD ir paralelogramsParalelograma definīcija

Vēlreiz saldā uzvaras garša! Jūs pareizi nosaucāt šo četrstūri. Nākamais!

Divi kongruentu leņķu pāri

Trešais četrstūra apraksts ietvēra abus pretējo leņķu pārus. Es paziņošu teorēmu un izmantošu 16.3. Attēlu, lai palīdzētu jums veikt pierādījumus.

16.3. Attēls. Četrstūris ABCD ar? A ~ =? C un? B ~ =? D.

  • 16.3. Teorēma : Ja abi četrstūra pretējo leņķu pāri ir vienādi, tad četrstūris ir paralelograms.

Jums jāsāk ar saviem leņķiem. Tā kā četrstūra iekšējo leņķu summas mēra kopā līdz 360, jūs varat parādīt m? A + m? B = 180 vai arī A? Un? B ir papildu leņķi. Tagad jūs varat aplūkot šo četrstūri šādā gaismā: BC un AD ir divi segmenti, kurus sagriež šķērsvirziena AB. Parasti šķērsvirziens ir bijis maiņstrāvas, bet šoreiz jūs izmantosiet AB. Tā kā jūsu divi leņķi tajā pašā šķērsvirziena pusē ir papildinoši, 10.10. Teorēma jums saka, ka pirms mūsu ēras? ? AD. Līdzīgs arguments parāda, ka AB? ? CD.

PaziņojumiIemesli
1.Četrstūris ABCD ar? A ~ =? C un? B ~ =? DDots
2. m? A + m? B + m? C + m? D = 360 Četrstūra iekšējā leņķa mērījumi sasniedz 360
3. m? A + m? B + m? A + m? B = 360 Aizstāšana (1. un 2. darbība)
Četri. mA A + m B = 180 Algebra
5. A un B ir papildu leņķiPapildleņķu definīcija
6. BC un AD ir divi segmenti, kurus sagriež šķērsvirziena ABŠķērsvirziena definīcija
7. BC? ? TO 10.10. Teorēma
8. AB un CD ir divi segmenti, kurus sagriež šķērsvirziena ADŠķērsvirziena definīcija
9. mA A + m D = 180 Aizstāšana (1. un 4. darbība)
10. A un D ir papildu leņķiPapildleņķu definīcija
vienpadsmit. AB ?? CD 10.10. Teorēma
12. Četrstūris ABCD ir paralelogramsParalelograma definīcija

Divpusējas diagonāles

Ah, šīs sērijas uzvārdu spēle! Ja jums ir četrstūris, kuram ir diagonāles, kas šķeļ viens otru, jūsu četrstūris ir paralelograms. 16.4. Attēlā parādīts paralelograms ABCD ar diagonālēm AC un BD, kas krustojas pie M un šķērso viena otru.

16.4. Attēls. Četrstūris ABCD ar diagonālēm AC un BD, kas krustojas pie M un šķērso viens otru.

  • 16.4. Teorēma : Ja četrstūra diagonāles viena otru šķeļ divpusēji, tad četrstūris ir paralelograms.

Ja paskatās uz 16.4. Attēlu, šīs teorēmas pierādīšanas spēles plānam vajadzētu būt skaļam un skaidram. Jūs izmantosiet 16.2. Teorēmu: paralelograma pretējo malu pāri ir vienādi. Abas diagonāles paralelogramu sadala četros trijstūros. Tā kā diagonāles viena otru sadala, AM ~ = MC un BM ~ = MD. Tā kā vertikālie leņķi ir vienādi, varat izmantot SAS Postulate, lai parādītu, ka? AMB ~ =? BMC un? AMB ~ =? DMC. Turpmāk ir jāpiemēro CPOCTAC, lai parādītu, ka abi pretējo malu pāri ir vienādi.

montana uz mums kartes
PaziņojumiIemesli
1. Četrstūris ABCD ar diagonālēm AC un BD, kas krustojas pie M un šķērso viens otru Dots
2. AM ~ = MC un BM ~ = MD Bisection definīcija
3. ? AMB ~ =? CMD un? AMD ~ =? BMC 8.1. Teorēma
Četri. ? AMD ~ =? BMC un? AMB ~ =? DMC SAS postulāts
5. BC ~ = AD un AB ~ = CD CPOCTAC
6. Četrstūris ABCD ir paralelograms 16.2. Teorēma

Izvilkts no Pilnīgas idiota rokasgrāmatas ģeometrijā 2004, Denise Szecsei, Ph.D. Visas tiesības paturētas, ieskaitot tiesības reproducēt pilnībā vai daļēji jebkurā formā. Izmanto pēc vienošanās ar Alfa grāmatas , Penguin Group (USA) Inc. biedrs

Lai pasūtītu šo grāmatu tieši pie izdevēja, apmeklējiet vietni Penguin USA vai zvaniet pa tālruni 1-800-253-6476. Šo grāmatu varat iegādāties arī vietnē Amazon.com un Bārnss un Noble .